Idén att fysiska lagar konserveras och förblir desamma trots förändringar i omgivningen, är i stort sätt ett axiomatiskt – alltså självklart – antagande. Likt all fysiska och matematiska teorem måste detta antagande ha ett bevis, annars sitter all vår uppfattning och kunskap av universum på en skör tråd. Här kommer en upptäckt, vars innebörd blivit förbisedd av större delen av omvärlden, in i bilden – Noethers teorem.
Nästintill alla teorier i fysiken vilar på fundamentala postulat, som exempelvis bevarandet av energi eller momentum. Dessa har varit kända sedan 1700-talet. Formuleringen av Lagranges ekvationer, den matematiska generaliseringen av klassisk mekanik, hjälpte att formulera sådana lagar under 1700- till 1800-talen, men dessa var baserade på årtionden av praktisk experimentering och försiktigt teoretiserande. Med andra ord så fattades en överhängande matematisk formulering av hur dessa bevarandelagar kunde bevisas på ett rent teoretiskt plan.
1903 blev tyskan Emmy Noether antagen till universitet i Erlangen, en av enbart två kvinnor. Hon valde att studera och senare även undervisa i matematik på universitetet. Hennes arbete uppmärksammades av två av dåtidens största matematiker i Tyskland, David Hilbert och Felix Klein, som lyckades få henne att komma till universitetet i Göttingen trots en utdragen juridisk process då hon var kvinna. År 1915 formulerade hon det första av två teorem som skulle bli döpta efter henne.
För att förklara hur Noethers teorem fungerar är det nödvändigt att förstå konceptet runt symmetrier i naturen och hur mer eller mindre alla moderna teorem i fysiken och i större uträckning alla naturvetenskaper beror på dem. Själva konceptet symmetri är i vardagliga ordalag inget mysterium för människan. Om ett objekt ser ut att förbli visuellt identiskt efter att själva objektet manipuleras på något sätt, exempelvis rotation av en cirkel åt vilket håll som helst, definieras det som symmetriskt.
I fysiken används ordet “invariant” för att beskriva samma idé, med andra ord att fysiska lagar förblir konstanta och inte förändras. Vanligtvis är transformationer eller symmetriska förändringar diskreta, vilket betyder att de kräver ett skifte i observationsvinkel eller perspektiv, som hur man behöver rotera en kvadrat med 90 grader för att få samma synliga form. I fallet med Noethers sats är dessa kontinuerliga. Detta kan åter liknas vid hur man kan rotera en cirkel antingen åt höger eller vänster utan att cirkeln synligen förändras.
Symmetrier i den matematiska fysiken kan också beskrivas som globala eller lokala. Om man observerar ett koordinatsystem i två eller tre dimensioner, kan detta exempelvis förändras genom förskjuta hela systemet lika mycket överallt, vilket i praktiken inte påverkar avståndet mellan arbiträra punkter, och transformationen är därmed global. Systemet kan också förändras lokalt om man manipulerar flera variabler samtidigt. Exempelvis kan detta göras genom att skifta ett koordinatsystems axlar och samtidigt förändra skalan på en av axlarna.
I raka ordalag förklarar Noethers sats att varje bevarandelag är kopplad till en specifik symmetritransformation i tiden. I och med att ett fysiskt system genomgår en kontinuerlig förändring i tiden kommer en specifik fysisk kvantitet att bevaras genom transformationen. Det betyder alltså att varje bevarandelag inte förändras med tiden och förblir invariant vid varje tidpunkt. Ett mer specifikt exempel är hur Lagrangianen hos ett fysiskt system, det vill säga skillnaden mellan den kinetiska och potentiella energin i systemet, inte förändras även om koordinatsystemet i vilket dessa beskrivs förändras. Lagrangianen återstår alltid som en viss kvantitet av energi. Från första anblick framstår konceptet om symmetri och bevarandet av vissa kvantiteter som någorlunda uppenbart, men från det uppkommer en viktig förmåga att kunna generalisera varje fysisk lag på ett rent matematiskt sätt.
Noethers teorem lade grunden för en viktig utveckling inom den teoretiska fysiken, nämligen introduktionen av specifika symmetrigrupper som den tyska matematikern Hermann Weyl gjorde. Han träffade Albert Einstein i Zürich och efter Einsteins publicering av sin allmänna relativitetsteori 1915 började Weyl fundera över en potentiell koppling mellan Einsteins idé om allmän kovarians, invarians eller symmetrin av Einsteins ekvationer vid lokala transformationer i rumtiden, och Noethers teorem.
Weyl utvecklade därmed ett system av transformationsalgoritmer baserat på Liegrupper, ett system av matriser, kallad gaugesymmetrier. Liegrupper innefattar en speciell typ av linjär algebra, kallad liealgebra, som uppfanns av den norske matematikern Sophus Lie i slutet av 1800-talet. Weyl upptäckte genom gaugesymmetrier att han kunde härleda Maxwells ekvationer, som länkar magnetism och elektricitet, från Einsteins relativitetsteori. Weyl gjorde därmed den första försöket att sammanlänka relativitetsteorin med den elektromagnetiska kraften. Dock stötte han på problem med att utföra dessa transformationer då han baserade sitt system på antagandet att enbart rummet var invariant. Einstein påpekade att detta skulle leda till att mätningar skulle bli tidsberoende, och därmed varianta.
Idén om ett universellt system av symmetriska transformationer som kan beskriva fysikens konstanta kvantiteter verkade därmed död, trots att Noether matematiskt lyckats bevisa konceptet. Erwin Schrödinger väckte däremot åter idén när han började arbeta med sin ökända vågfunktion. Detta hände i ett försök att förstå den teori om elektron eller materievågor som formulerades av den franska fysikern Louis de Broglie, som beskrev hur även elektroner kan bete sig som både vågor och enskilda enheter. Schrödinger formulerade vågfunktionen med hjälp av att använda det komplexa talet i, i en specifik symmetritransformation som beskrevs av Liegruppen U(1).
U(1)-gruppen innefattar den komplexa variabeln inom ett tvådimensionellt koordinatsystem där ena axeln multipliceras med talet i, ett så kallat Argandplan. Transformationer inom detta plan kan knytas till termen fasvinkel. Varje förändring i koordinatplanet kan direkt översättas till förändringen hos en sinusfunktion som genomgår en full fasvinkel av 360 grader för en våglängd, eller motsvarande en full rotation i en cirkel. Symmetrin U(1) kom därmed att kunna beskriva bevarandet hos den elektriska laddningen och konstruera den matematiska grunden för kvantelektrodynamiken.
Fysikerna Fritz London och Vladimir Fock etablerade till slut den fulla matematiska modellen runt gaugeteorin 1927. Gaugeteorin, och i utsträckning dess rötter i Emmy Noethers arbete, skulle därmed komma att utgöra grunden för standardmodellen i partikelfysik och teoretisk fysik. Einstein själv beskrev den obestridliga vikten bakom upptäckten och hyllade Noether som “det mest betydande geni som visat sig sedan kvinnor började ges högre utbildning”.
Källor som användes i den här artikeln
Baggott, Jim ; Higgs: The Invention and Discovery of the ‘God Particle’; Oxford OUP Oxford, 2012.
Britannica; Emmy Noether; 2022; https://www.britannica.com/biography/Emmy-Noether#ref1216009,