Är triangelns vinkelsumma verkligen 180 grader?

Tänk dig att du och din vän står vid en punkt A på ekvatorn. Du vänder dig 90^◦ och går till punkt B, som ligger vid Nordpolen (ja, kanske lite orealistiskt). Din vän går fram tjugo tusen kilometer längs ekvatorn för att komma till punkt C, och vänder sig sedan 90^◦ också, för att ta sig till Nordpolen. När ni står där vid Nordpolen märker ni att er väg har slutit triangeln ∆ ABC enligt Figur 1. 

Det är då ni märker att vinkelsumman av denna triangel inte är 180^◦, utan snarare 270^◦. 

Den geometri som lärs ut på grundskolan kallas Euklidisk geometri, och handlar främst om geometri på två-dimensionella planer. Genom att studera denna typ av geometri har du säkert blivit van vid att anta att vinkelsumman av trianglar är 180^◦. Hursomhelst behöver vi förkasta denna tanke om vi ska utvidga vår kunskap till andra delar av geometrin. I sfärisk geometri, vilket är geometrin på ytan av klot, kan man skriva triangelns vinkelsumma (låt oss kalla vinkelsumman Σ) som: 

\(\sum =\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ}+\frac{Y}{r^{2}}\)

där α, β och γ är triangelns tre vinklar, Y är triangelns ytarea och r är sfärens radie. 

Men innan vi ger oss in på beviset är det relevant att förstå vad som egentligen menas med en triangel på en sfär. I Euklidisk geometri definieras en triangel som formen som begränsas av tre räta linjer, men i sfärisk geometri definieras en triangel som den tre-hörnade formen som begränsas av tre storcirklar (cirklar på sfären som har sitt centrum i sfärens centrum). Låt oss nu ta beviset steg för steg; vi börjar med två storcirklar. Vinkeln mellan de två storcirklarna i ett hörn definieras som vinkeln mellan tangenterna till storcirklarna i hörnet, enligt Figur 2: 

Vi tänker oss att vi har en sfär med radien r, två storcirklar och vinkeln α mellan storcirklarna enligt Figur 2. Ytarean av hela sfären är 4πr². De två storcirklarna delar in hela sfären i fyra klyftor, så arean av en klyfta, den klyftan som har vinkeln α mellan storcirklarna, är α/360^◦ ×4πr². Om vi använder oss av radianer (ett annat mått på vinklar som säger att 2π radianer = 360^◦) kan vi skriva om uttrycket som α/2π ×4πr² = 2αr² .Vi kan alltså tänka oss att ytarean av en klyfta med vinkeln α är 2αr². Vi tänker oss nu att vi lägger till ytterligare en storcirkel så att den gulmarkerade triangeln som visas i Figur 3 bildas. Låt oss kalla denna triangel för Triangel 1. 

Nu har vi tre vinklar, och för varje vinkel kan vi hitta en klyfta. Summan av dessa klyftors ytareor blir 2αr² + 2βr² + 2γr² = 2(α + β + γ)r² enligt resonemanget ovan.

Denna summa är den sammanlagda arean av de tre klyftorna, men det är viktigt att notera att arean av Triangel 1 i Figur 3 förekommer tre gånger i denna summa, eftersom klyftornas areor överlappar. 

Om vi vänder på sfären, inser vi att det finns en till triangel där, Triangel 2, som har lika stora vinklar (α,β,γ) och har lika stor area som Triangel 1, av symmetriskäl. På samma sätt som tidigare kan vi säga att den sammanlagda arean av de nya klyftorna i Triangel 2 också är 2(α + β + γ)r². Nu kan vi inse att dessa två summor tillsammans täcker hela sfären, eftersom de 6 klyftor vars ytarea har beräknats tillsammans utgör hela klotets ytarea. Det här kan vara svårt att föreställa sig, men om man är intresserad går det utmärkt att till exempel rita på en gammal tennisboll (eller annars övertyga sig själv från Figur 3)! Det finns dock ett problem: den ursprungliga triangelns area förekommer flera gånger när man summerar alla klyftors ytarea. Detta beror på att triangeln finns i varje klyftas ytarea, och vi har 6 klyftor men endast två relevanta trianglar, Triangel 1 och Triangel 2. Detta innebär att 4 trianglars areor måste tas bort från de två summorna för att få ytarean av hela sfären. Detta kan vi skriva på följande sätt: 

\(4(\alpha + \beta + \gamma )r^{2}-4Y=4\pi r^{2}\)

om Y är triangelns area och 4πr² är hela sfärens ytarea. Genom att addera 4Y till båda leden ovan och dividera med 4r² får vi den ursprungliga likheten: 

\(\alpha +\beta +\gamma =\pi +\frac{Y}{r^{2}}\)

Slutsatsen man kan dra från detta är att för en sfärisk triangel med en ytarea Y > 0 kommer vinkelsumman alltid att vara större än π radianer, eller 180^◦. 

Det här kan verka abstrakt och irrelevant för verkligheten, men egentligen är denna del av matematiken mycket viktig för bland annat astronomi. Den ursprungliga likheten kan skrivas om som:

\(\frac{\alpha +\beta +\gamma -180^{\circ}}{Y}=\frac{1}{r^{2}}\)

genom att subtrahera båda led med 180^◦ och dividera med Y. Då får vi ett uttryck för 1/r². 1/r² kan tolkas som krökningen av ett klot med radien r, eller hur mycket klotet böjer sig. Till exempel har en sfär med radien 1 m krökningen 1/r² = 1m⁻² medan en sfär med radien 1000 m har krökningen 1/r² = 10⁻⁶ m⁻², vilket säger oss att det mindre klotet kröker mycket mer än det större klotet. En krökning av 0 innebär att objektet är ett plan. Genom att använda den sistnämnda likheten, kan vi ta reda på krökningen av vilken yta som helst genom att ta reda på vinkelsumman av en triangel på ytan — även krökningen av vårt universum. 

Flera experiment som bland andra BOOMERanG-experimentet har lyckats mäta vinklarna mellan tre punkter i universum, och har fått fram att vinkelsumman är, med rum för mätfel, precis 180^◦. Detta ger oss värdet 0 på universums krökning enligt den sistnämnda likheten, vilket stödjer teorin om att vårt universum är platt. Det här tydliggör hur matematikens abstrakta delar kan användas för att besvara människans största frågor. 

Källor som användes i den här artikeln