Matematik

Hur vet man cirkelns area?

publicerad 6 månader sedan av
Daniel Öhman

Arean av en cirkel är \pi r^{2}. Det är vad vi lär oss memorera i skolan. Om jag ska vara ärlig kom jag nästan aldrig ihåg den för att jag förstod mig inte på det. Varför är det just 𝝅 multiplicerat med \pi r^{2}? Vad betyder ens π? Varför tar man radien i kvadrat? Hur hänger det ihop? Då pi är ett alldeles för djupt område att förklara i denna artikel kommer jag ge dig det enkla axiomet att pi är förhållandet mellan cirkelns diameter och omkrets. Vi vet därmed att omkretsen på cirkeln är 2 \pi r. Vad jag kommer att bevisa i denna artikel är sambandet mellan pi, radien och exponenten. 

I flera årtusenden har människan försökt, och i vissa fall lyckats, bevisa cirkelns area. Gemensamt för de alla är uppdelningen av cirkeln i mindre delar. Två av metoderna har varit att antingen dela upp cirkeln i trianglar för att sedan pussla ihop den igen eller med hjälp av Arkimedes metod.

Börjar först med en fyrhörning
Ökar lite till
Ökar ytterligare tills felmarginalen blir önskvärd

Arkimedes delade upp cirkeln i månghörningar för att få felmarginalen så liten som möjligt. När han uppnådde en önskvärd felmarginal beräknade han sedan arean på månghörningen. I triangelmetoden delar man istället upp cirkeln i trianglar för att sedan placera de i en rektangel.

Triangelmetoden
Cirkeln delas upp i trianglar enligt triangelmetoden.
Triangelmetoden för att ta reda på area
Trianglarna radas upp.

Det blir lättare att beräkna arean på denna än med Arkimedes metod. Ett mönster kan nu börja urskiljas. Matematiken belönar den runda formen i detta fallet. Därmed är det precis vad vi ska göra. Låt oss dela upp cirkeln i mindre cirklar:

Mellanrummet mellan varje mindre cirkel representerar en area, och vi kan räkna ut den med hjälp av följande metod:

Genom att dela upp varje cirkel kan vi räkna ut arean.

Vi vecklar ut areorna – de mindre cirklarna – tills de blir raka linjer:

Vi staplar dem bredvid varandra.
Därefter kan vi beräkna arean.

Sedan staplar vi dem bredvid varandra. Vi vet att omkretsen av cirkeln är lika med längden av den längsta linjen, vilken då är 2 \pi r. Det blir höjden i vår figur. Det syns nu tydligt att figuren liknar en triangel. Om vi minskar avståndet mellan varje cirkel som beskrivet ovan kommer avståndet på höjden mellan rektanglarna att minska. Detta lämnar i sin tur mindre yta mellan rektanglarna och den turkosa hypotenusan i figuren nedan. Vi fortsätter minska avståndet tills de båda figurerna kan anses ekvivalenta och vi får då en triangel.

Vi ser nu att höjden – längden på den yttersta cirkeln; omkretsens storlek – blir 2 \pi r&s=1$ och basen – bredden på alla cirklarna summerat –  blir radien. Det enda som finns kvar är att beräkna arean av triangeln som skapats. Vi gör detta genom formeln för arean av en triangel:

A=\frac{b\cdot h}{2}

Sedan byter vi ut (substituerar) b mot r & h mot 2 \pi r:

A=\frac{r\cdot 2\pi r}{2}=r\cdot \pi r=\pi r^{2}

Voila! Vi har nu bevisat arean för cirkeln. Jag hoppas denna artikel har gett er ett nytt perspektiv och framförallt en bättre förståelse för cirkelns area.