Matematik

Descartes utmaning

publicerad 3 månader sedan av
Daniel Öhman

Descartes och Fermat satt en kall vinterkväll med en tvist. Fermat påstod sig kunna derivera vad som helst men Descartes trodde honom inte. Därför utmanade han Fermat att derivera Descartes folium som förbryllade den intellektuella eliten. Efter några minuter var Fermat färdig, han hade deriverat det icke-deriverbara. Descartes tittade igenom beräkningarna men hittade till hans förvåning inge fel. Fermat hade deriverat det icke-deriverbara!

Riktigt så gick det inte till men utmaningen och lösningen var densamma. Någon gång under 1600-talet utmanade Descartes Fermat att derivera hans folium. Folium, som härstammar från latin och betyder löv, är en relation mellan två funktioner:

Om man sedan ritar ut den på ett koordinatsystem får man följande:

Problemet med att derivera lövet var att det fanns två funktioner. Deriveringen kunde endast ske genom en funktion. Därmed, resonerade Fermat, måste man implicit (innefattat) derivera en av funktionerna utifrån den andra. Det betyder att deriveringen gjordes utifrån en variabel där den andra, underförstått, var en funktion av den första. Nästa steg var endast att derivera. Men vad är derivata? Derivata kan förklaras som en lutning. Till exempel: om vi har en bil och endast vet sträckan den färdats:

Illustrerad av Daniel Öhman

kan vi beräkna hastigheten genom att ta lutningen på grafen ovan eller genom att derivera det:

s är sträcka och v är hastighet

Med det i minnet skulle vi kunna derivera Descartes folium, eller? Tyvärr måste vi även ha den implicita funktionen y i åtanke. För att derivera y med avseende på x måste vi följa kedjeregeln som är följande:

Detta skulle se ut på följande vis vid implicit derivering av y:

Sådär! Nu är allt redo och vi kan nu följa Fermats spår:

Sedan tar vi de lika termerna för sig:

Faktorisera 2 för att enklare se funktionen

Faktorisera vänsterledet

Nu när vi har dy/dx isolerat kan vi föra över funktionen till höger och se sambandet.

Voila! Nu har vi implicit deriverat Descartes folium. Man kan nu även urskilja att foliet är mer en relation av funktionerna än en graf.

och