Matematik som du – men inte din miniräknare – förstår

Om du trycker “ln(4)” på din miniräknare, kommer du få ett visst irrationellt decimaltal. Men vad händer om du trycker in “ln(–4)”? Antagligen får du något slags felmeddelande, och anledningen till det är att logaritmer vanligtvis inte definieras för negativa tal. Skulle det dock gå att definiera logaritmen av negativa tal med hjälp av andra typer av tal?

Men först: vad är egentligen en logaritm? Logaritmer är något som många gymnasieelever tycker är knepigt att lära sig, men när man väl förstår definitionen börjar man få grepp om konceptet. En typ av logaritm, den naturliga logaritmen, kan definieras på följande sätt:

“Den naturliga logaritmen av ett tal a, som skrivs ln(a), är det tal man måste upphöja talet e till för att få a.”

Med andra ord: \(e^{ln(a)} = a\)

Talet e är ett irrationellt tal (e ≈ 2.71828). Till exempel har vi att ln(4) = 1.386… eftersom e^1.386… = 4. 

Eftersom logaritmer är så nära besläktade med potenser kan man utifrån potenslagarna härleda så kallade logaritmlagar. Till exempel har vi utifrån definitionen av den naturliga logaritmen att e^ln(ab) = ab, och enligt potenslagarna har vi att ab = a*b = e^ln(a) * e^ln(b) = e^{ln(a) + ln(b)}, och därmed kan vi dra slutsatsen att e^ln(ab) = e^{ln(a) + ln(b)}, eller att ln(ab) = ln(a) + ln(b), vilket är den första logaritmlagen.

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Den första logaritmlagen.

Utifrån definitionen av logaritmer kan man snabbt förstå varför ln(x) inte är definierat för negativa tal x. Kan du tänka på ett tal t som du kan upphöja e till för att få ett negativt tal, som –4? Det finns inga sådana tal t, i alla fall inte på vår tallinje. Men faktum är att det finns tal även utanför vår tallinje – de komplexa talen. Ett komplext tal är ett tal z = a + bi där a och b är reella konstanter, och i, den imaginära enheten, uppfyller likheten i² = –1. Kan de komplexa talen då användas för att ta reda på logaritmen av negativa tal?

Det första som vi kan visa är att ln(–a) = ln(–1*a) = ln(–1) + ln(a) som följd av den första logaritmlagen. Men vad är ln(–1)? För att lösa det problemet behöver vi vända oss till en likhet som brukar kallas för ett av matematikens underverk, som binder samman fyra centrala konstanter i matematiken:

\(e^{i\pi}= -1\)

Eulers identitet.

Eftersom ln(–1) är det tal vi ska upphöja e till för att få –1, kan vi med hjälp av Eulers identitet säga att ln(–1) = \(i\pi\). Vi får alltså att ln(–a) = \(i\pi\)+ln(a). Logaritmen av ett negativt tal ges alltså av ett visst komplext tal. ¹

Faktum är att man har utvidgat definitionen av logaritmer så att definitionsmängden av logaritmfunktionen är alla komplexa tal, och en sådan logaritm ln(z) där z är ett komplext tal, kallas för en komplex logaritm. Det här är ett exempel på hur matematiken växer, vare sig det är innanför eller utanför gränsen av vår, eller vår miniräknares, föreställning.

Källor som användes i den här artikeln

Anmärkningar:

¹ Logaritmfunktionen är egentligen en flervärd funktion, eftersom logaritmen av ett tal ges av oändligt många komplexa tal, men för att kunna ge ett svar på ln(-a) väljer man ofta bara en “förgrening” av funktionen. Kort sagt, svarar ln(–a) mot oändligt många tal, men man väljer ofta bara ln(–a) = \(i\pi\) + ln(a).