Matematik

Matematiken bakom COVID-19

publicerad 4 månader sedan av
Oskar Wendt

Det finns många olika matematiska modeller för att modellera en epidemi. En av dem baseras på en rekursionsformel och resoneras fram så här:

Varje dag ökar antalet infekterade med ett visst antal, ΔNd, som är proportionerligt mot antalet smittade, Nd, antalet personer varje smittade träffar, E, och sannolikheten varje interaktion, i genomsnitt, har att smitta, P.

Nd = Antalet infekterade på en viss dag.

E = Genomsnitt personer som en infekterad träffar varje dag.

P = Risken för smitta per interaktion.

ΔNd = E ⋅ P ⋅ Nd

Nd+1 = Nd + E ⋅ P ⋅ Nd

Nd+1 = (1 + E ⋅ P) ⋅ Nd

Nd = (1 + E ⋅ P)d ⋅ N0

Resonemanget ovan resulterade alltså i att vi multiplicerar med en konstant en viss dag, för att få nästa dags antal smittade, vilket är precis vad en exponentiell funktion gör. Funktionen ovan måste dock även ta hänsyn till att en stor del av populationen, efter ett tag, blir smittade. Detta kan vi skriva tydligare så här:

ΔNd = E ⋅ C ⋅ Nd ⋅ (1 – Nd / pop.size)

Där C är en del av konstanten P. Ekvationen, och den verkliga spridningen av epidemier som COVID-19, är exponentiella i början. Därför är det mycket viktigt att införa åtgärder snabbt. Exempelvis har coronaviruset dubblerat i antalet infekterade under den senaste veckan, enligt WHO, från 168 000 till 333 000 infekterade människor.

Antal corona fall i världen. Källa: WHO och Johns Hopkins University

Dock är epidemikurvan inte en riktig exponentialfunktion, utan bara en början på en “logistic curve”, vilken ser ut såhär:

En “logistic curve” med markerad inflektionspunkt.

Inflektionspunkten tyder på en väldigt viktigt sak, nämligen att en viss kvot minskat till värdet 1. Denna kvot gallas “growth factor” och är definierad som följande:

ΔNd+1 / ΔNd 

I början av en epidemi är denna kvoten större än 1. Fler och fler blir då infekterade för varje dag som går. Men när kvoten i fråga blir mindre än 1 minskar den av sig själv, på grund av att nya personer blir smittade av antalet smittade som redan finns. För att minska spridningen innan detta händer, eller få det att hända snabbare, ska man försöka minska konstanterna E och P. För att minska E kan man exempelvis isolera sig socialt och sätta infekterade personer i karantän, medan man kan tvätta händerna och inte vara närgången i sociala sammanhang för att minska P. 

En annan lite mer komplicerad matematisk modell som beskriver epidemikurvan heter SIR modellen. Denna delar upp hela populationen i tre olika grupper. 

Smittbara personer = S(t)

Infekterade personer = I(t)

Återhämtade eller döda personer = Å(t)

Eftersom hela populationen ingår i dessa tre olika kategorier stämmer även:

S(t) + I(t) + Å(t) = N 

Då N betecknar antalet invånare i en viss population. 

För att analysera hur de olika grupperna påverkar varandra ställs ett system av differentialekvationer upp:

dS/dt = -a ⋅ S(t) ⋅ I(t)

dI/dt =  a ⋅ S(t) ⋅ I(t) – b ⋅ I(t)

dÅ/dt = b ⋅ I(t)

Derivatan av S med avseende på t beskriver hur många som lämnar gruppen S. Såklart är denna förändring negativ och den beror på interaktioner mellan grupperna S(t) och I(t). Det vill säga att en infekterad person måste träffa en smittbar person för att spridningen av viruset ska kunna ske. Utöver det läggs det till en proportionalitetskonstant för att sambandet ska gälla. Denna konstant beror bland annat på hygien och sociala regulationer som är till för att minska spridningen. 

Alla som lämnar gruppen S går in i gruppen I. Därmed tillförs det a ⋅ S(t) ⋅ I(t) personer till gruppen I, vilket beskriver en del av dess förändringshastighet. Men personer lämnar även gruppen I genom att bli friska eller att dö. Dessa är direkt proportionella mot antalet personer som är infekterade och kan betecknas – b ⋅ I(t) då de lämnar gruppen. Slutligen går alla som lämnar gruppen I in i gruppen Å, och dess förändringshastighet betecknas med b ⋅ I(t).

I(t) för COVID-19 fram till 22 mars. Källa: Worldometers

Gruppen man vill minska under alla tider i epidemin är I(t). Vi analyserar dess förändringshastighet för att komma fram till lösningar:

dI/dt =  a ⋅ S(t) ⋅ I(t) – b ⋅ I(t)

Om förändringshastigheten ovan ökar, dvs om: a ⋅ S(t) ⋅ I(t) – b ⋅ I(t) > 0, kommer fler och fler bli smittade varje dag och därmed en epidemi utvecklas. Men om den är <0 kommer visserligen fler bli sjuka, men folk kommer tillfriskna snabbare än nya blir sjuka, vilket medför att färre personer kommer vara sjuka i framtiden. Man vill alltså att:

a ⋅ S(t) ⋅ I(t) – b ⋅ I(t) < 0

I(t) är positivt, vilket medför att vi kan dividera med det utan att vända håll på olikheten:

a ⋅ S(t) – b < 0

a ⋅ S(t) < b

a ⋅ S(t)/b < 1

R0 = a ⋅ S(t)/b

R0 < 1
Det är just R0 det pratas mycket om i media. Det sägs att så fort R0 blir mindre än 1 så kommer epidemin att sluta. Ovan kan man själv resonera sig fram till en anledning till varför detta är sant. För att bidra till att det ska ske kan man minska a, minska S(t) eller öka b. b är proportionalitetskonstanten som beskriver hur snabbt folk som är infekterade tillfrisknar eller dör. Denna är mycket svår att ändra på då den beror till stor del på populationens genomsnittliga immunförsvar. Däremot kan man ändra på a relativt väl, medan S(t) sjunker med tiden. Man är alltså främst intresserad av att minska produkten S(t) ⋅ a, innan S(t) hinner bli liten. Då a är proportionalitetskonstanten som beskriver hur många som blir infekterade under interaktioner mellan grupperna S och I kan detta göras med hjälp av åtgärder som gör att folk inte blir infekterade. Därmed är några effektiva åtgärder man kan ta precis vad de säger i nyheterna: sätt sjuka människor i karantän och TVÄTTA HÄNDERNA!