Matematik

Mer än bara en vanlig triangel

publicerad 5 månader sedan av
Samuel Frobell

Det har funnits många enastående matematiker genom tiderna. Vissa av dem har gjort större avtryck än andra, och de vi oftast kommer ihåg idag är de som lämnade ett arv efter sig. Vi har t.ex. Grekiske Pythagoras som fick en sats uppkallad efter sig, Schweiziske Leonhard Euler med det irrationella talet “e” eller sina “Euler-kretsar”. Jag tror även att det ringer någon form av klocka hos er när ni hör namnet Pascal. Dock är det första ni tänker på inte matematik utan fysik, närmare bestämt tryck. Det är nämligen så att fransmannen Blaise Pascal var både fysiker och matematiker, och har fått Si-enheten för tryck uppkallad efter sig. I denna artikel skall vi ta en närmare titt på ett av hans matematiska verk, “Pascals triangel”. 

Första 11 våningarna av pascals triangel  Pascal’s Triangle

Ovan ser ni en bild av Pascals triangel, och som ni ser är det inte någon vanlig geometrisk triangel med något speciellt samband mellan vinklarna, utan istället följder av tal staplade ovanpå varandra. Vid närmare titt kan man se att varje “våning” utgör binomialkoefficienter vilket innebär koefficienterna som multipliceras med varje term vid expandering av binom, (x+y)^n, n ≥ 0. 

Triangeln fungerar på så sätt att varje “våning” ger koefficienterna till ett visst värde på n. Första våningen uppifrån ger koefficienten till n=0, därefter ökar n med 1 per våning ner man går. Detta innebär att våningen som består av talen (1,2,1) skulle vara koefficienter till binomet (x+y)^2 vilket vi vet stämmer, då (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.

Första 6 våningarna av Pascals triangel Pascal’s Triangle Combinations

Bilden ovan visar Pascals triangel uppritad på ett annat sätt med hjälp av kombinatorik. Detta innebär att varje tal kan skrivas som C(n,k) vilket uttalas “n över k”. Detta gäller enligt sambandet: 

( “!” är inget utropstecken som i svenskan, utan står för “fakultet”. Detta innebär att talet innan multipliceras med alla hela tal mellan utgångstalet och noll, dvs n! =n*(n-1)*(n-2)*… *2*1)

Detta sätt att skriva Pascals triangel på har hjälpt till att utforma Binomialsatsen, en sats som även den hjälper oss med våra binomialkoefficienter, men utan att gå via Pascals triangel.

Varför man kan skriva triangeln på detta sätt går att bevisa med hjälp av Pascals identitet, men kräver att vi har en förståelse för hur Pascals triangel är utformad. Om du vill rita upp triangeln själv kräver det inga kunskaper inom kombinatorik eller expandering av binom, du skriver bara talet under som summan av de två talen snett ovanför, likt följande: 

Detta är även en simpel förklaring till vad Pascals identitet innebär, nämligen att talet under är summan av de två talen ovanför, i Pascals triangel. Nedan lyder Pascals identitet tillsammans med triangeln skriven med hjälp av kombinatorik. 

      Pascals identitet:

Som om detta inte skulle vara nog, finns det fler fascinerande aspekter med Pascals triangel och innan vi avrundar skall vi ta upp några av dem. Nu när ni bekantat er med triangeln kanske ni till och med redan upptäckt någon av dem. 

Vi tittar närmare på summan av talen på de olika våningarna. Om vi använder samma benämning som tidigare, där första våningen innebär n=0 och n därefter ökar med ett per våning man tar sig neråt ser vi följande:

n= 0 => 1, n=1 => 2, n=3 => 4, n=4 => 8, n=5=> 16… 

Summorna 1,2,4,8,16 är något vi känner igen, det är potenser av basen 2. Det visar sig nämligen att summan av talen på varje våning är 2ndär första våningen innebär n=0. Du kan testa vidare själv, det är ganska episkt.

Något som jag måste erkänna är ännu häftigare är att Pascals triangel även är vacker. Då menar jag inte min subjektiva åsikt utan att man till och med hittat Fibonacci-sekvensen i triangeln. Detta innebär spår av gyllene snittet ( talet phi, ) som visats vara det människan uppfattar som skönhetsideal, men förklaringen till det är ett ämne för en annan artikel. Tillbaka till Pascals triangel, du kanske redan har börjat leta efter sekvensen, men den är inte helt lätt att hitta. Den kommer nämligen om man “puttar” hela triangeln åt vänster och sedan drar ett antal väldigt upplysande linjer. 

Första nio våningarna av pascals triangel med Fibonacci-sekvensen markerad Pascal, Fibonacci

För att avsluta, det finns väldigt många olika trianglar. Vi har bland annat den klassiska rätvinkliga triangeln, den sfäriska triangeln som Debdut har behandlat i en tidigare artikel och avslutningsvis Pascals triangel. Min åsikt är att Pascals är häftigast med hästlängder. 

Källor som användes i den här artikeln