Om matematik hade varit en människa, hade hon troligtvis varit den noggrannaste, mest punktliga och logiska människan vi känt. Men det finns faktiskt överraskningar inom matematiken! Den här artikeln kommer inte att beskriva integralkalkyler eller kvadratroten ur negativa tal, men den kommer förmodligen ändå komma med en överraskning.
Föreställ dig att vårt jordklot är en perfekt sfär och att ett rep, hårt åtspänt runt hela jordklotet, löper längs marken. Detta rep har samma omkrets som jorden. Föreställ dig efter det ett andra rep, som är likadant, fast en meter längre. Repet löper också runt hela jordklotet, men på ett sätt som gör att det fördelar sig jämnt över hela jorden. Det vill säga, att avståndet mellan repets innersida och jordklotets yta är lika stort över hela jordklotet. Frågan lyder då; hur stort är avståndet mellan jordens yta och det längre repet?
Se om du kan föreställa dig det i huvudet och gissa hur långt avståndet är.
Detta går (såklart) att lösa matematiskt. Det enklaste sättet är att förminska problemet till två dimensioner. Grunderna i matematiken förändras inte, men det blir lättare för oss att visualisera problemet.
Jordens radie är ungefär 6 371 km och dess omkrets är ungefär 40 075 km. Det bruna repet har en omkrets som är samma som jordens, men plus en meter. Avståndet som ni försökte lista ut tidigare är det mått som har benämnts med x. För att lösa den här typen av problem får vi rota fram formeln för cirkelns omkrets från huvudet eller matteboken, och se att radien multiplicerat med två multiplicerat med pi är lika med omkretsen:
\(2r\pi=O\)
Detta ger
\(\frac{O}{2r}=\pi\) som även kan skrivas \(\frac{O}{d}=\pi\)
Hur beskriver man då x ovan? Man kan tänka att x:et finns på andra sidan också, och då hela repet är jämnt fördelat över hela jordklotet får man följande bild:
Vi vill alltså veta skillnaden mellan jordens diameter och “repets” diameter. Vi kan då skriva:
\(d_{j}=6371\) och \(d_{r}=6371+2x\)
Men vi kan också skriva så här:
\(d_{r}-d_{j}=2x\)
Vi behöver inte blanda in den riktiga längden 6 371 km då vi klarar oss utan det genom att beskriva skillnaderna mellan diametrarna. Generellt vill man ha så få tal som möjligt, särskilt när det gäller längder som jordens omkrets då många tal kan ha avrundats. Hur definierar vi då diametrarna \(d_{r}\) (repets diameter) och \(d_{j}\) (jordens diameter)?
Enligt formeln vi använde tidigare kan vi skriva så här:
\(d_{r}=\frac{40075+0.001}{\pi}\) och \(d_{j}=\frac{40075}{\pi}\)
Detta ger följande ekvation:
\(\frac{40075.001}{\pi}-\frac{40075}{\pi}=2x\)
\(\frac{40075.001-40075}{\pi}=2x\)
\(\frac{0.001}{\pi}=2x\)
\(2x=\frac{0.001}{\pi}\)
\(x=\frac{0.001}{2\pi}\)
\(x\approx0.000159\)
Det här talet är väldigt litet för vårt ändamål, och för att få det i en lämpligare enhet multiplicerar vi det med 100 000. Därför förändras vårt x, det multipliceras med 100 000. Då får vi svaret i cm. Vi kan göra detta redan innan vi skriver ut talet i decimaler för att få ett så exakt tal som möjligt:
\(x=\frac{0.001}{2\pi}\cdot100000\)
\(x=\frac{0.001\cdot100000}{2\pi}\)
\(x=\frac{100}{2\pi}\)
\(x=\frac{50}{\pi}\)
\(x\approx15.915\)
Vi får då svaret att x är lika med 15,915 cm. Om man har ett rep som endast är en meter längre än jordens omkrets, får man därför ändå plats med nästan 16 cm mellan repet och jordklotet – runt hela jorden.
Om det är någonting matematiker älskar att göra, så är det att sätta namn och bokstäver som symboliserar olika saker. Här ska vi sätta namn på de olika konstanterna i formeln nedan:
\(c\) = jordens omkrets
\(\Delta c\) = den adderade längden på omkretsen
Om man vill hitta en generalisering på detta, kan man skriva så här:
\(\frac{c+\Delta c}{\pi}-\frac{c}{\pi}=2x\)
\(\frac{c+\Delta c-c}{\pi}=2x\)
\(\frac{\Delta c}{\pi}=2x\)
\(\frac{\Delta c}{2\pi}=x\)
Vad vi gjorde är att vi försökte få x att stå för sig självt. Det uttryck som ger x, ger då hur stort utrymmet mellan jordens längd och repet är. Om repets längd ökar med \(\Delta c\), kommer det finnas \(\frac{\Delta c}{2\pi}\) enheter mellan jorden och repet. Ökar repets längd med till exempel 1 dm, kommer det att finnas ungefär \(\frac{0.1}{2\pi}\approx1.6\) cm mellan jorden och repet runt hela jorden.
Till en början är detta pussel intressant på grund av dess icke-intuitiva resultat. Det blir ännu mer intressant om vi sedan kan göra dem intuitiva trots allt, och det kan vi verkligen. Det här är ett välkänt problem, men resultatet förvånar ändå människor världen över varje dag.