Matematik

Vad är egentligen oändligheten och varför är det så svårt att föreställa sig den?

publicerad 6 månader sedan av
Melinda Malmqvist

När oändlighet diskuteras får man ofta reaktionen att “det måste ju ha ett slut”. Faktum är att det finns saker som fortsätter gränslöst, exempelvis nummer. Oändlighet är dock inte ett nummer, utan ett koncept eller en idé av något som fortsätter i all evighet. Man tror även att vårt universum inte har något slut, men hur kan någonting fortsätta utan ett slut? Varför är det så svårt att visualisera oändligheten? 

Begreppet har under lång tid diskuterats av forskare och filosofer. Redan under antikens Grekland började man spekulera kring oändligheten. Aristoteles förnekade oändligheten och talade därför om en potentiell oändlighet istället som skiljer sig från den faktiska oändligheten. Skillnaden mellan dessa är att den faktiska oändligheten är fullbordad, bestämd och består av oändligt många mängder. Den potentiella oändligheten är aldrig komplett: mängder kan alltid läggas till, men aldrig oändligt många. 

Hilberts Hotell är en paradox framlagd av den tyske matematikern David Hilbert som skulle illustrera hur oändligheter fungerar. Hilberts Hotell har ett oändligt antal rum, som alla är upptagna. En dag kommer en ytterligare gäst till hotellet som behöver ett rum. För att denna nya gäst ska få plats låter man gästen i rum 1 flytta till rum 2, gästen i rum 2 flyttar till rum 3 etc. Genom att upprepa denna process så kan oändligt många nya gäster flytta in. Men hur kan fler få plats om hotellet redan är fullt? Eftersom ingenting kan vara större än oändligheten så måste det adderat eller multiplicerat med en annan faktor (inklusive sig självt), fortfarande vara ekvivalent med oändligheten:

∞ + 1 = ∞ 

∞ ⋅ 2 = ∞ 

∞ ⋅ ∞ = ∞ 

Eftersom antalet rum är oändligt går det även att låta oändligt många människor flytta in. Hilbert ville alltså genom sin paradox visa egenskaperna hos oändliga mängder. 

Oändligheten är ett oerhört viktigt koncept inom matematiken – naturliga tal, eller nummerföljder som fortsätter i all evighet, t.ex. att räkna: 1,2,3,4,5 och så vidare. Däremot finns det faktiskt olika storlekar, eller nivåer av oändligheten. Idén grundades av matematikern Georg Cantor som jämförde storlekarna på oändligheter, och använde sig av denna idé för att bevisa att saker och ting i själva verket kan fortsätta utan någon gräns. Cantor pratade om uppräkneliga och överuppräkneliga mängder. Exempelvis så är de naturliga talen, heltalen och de rationella talen uppräkneliga, vilket innebär att de går att sätta namn på och är möjliga att räkna upp oändligt.

En modell av talmängderna. Beskriver sambandet mellan reella, rationella, irrationella tal, heltalen och de naturliga talen. Bild: Melinda Malmqvist

Överuppräkneliga mängder inkluderar alla de reella talen, där inte alla mängder kan räknas upp. Cantor bevisade att mellan siffrorna noll och ett befinner det sig fler nummer än den totala mängden naturliga tal, vilken som sagt är oändlig. Därmed är oändligheten av reella tal “större” än oändligheten av naturliga tal, heltal och rationella tal. Cantor visade även att om vi tar alla delmängderna av de naturliga talen så kan vi skapa en ännu “större” oändlighet än den ursprungliga mängden. Sedan kan man fortsätta och ta delmängderna av delmängderna och skapa en ytterligare oändlighet, större än den tidigare. Med andra ord finns det oändligt många oändligheter av olika storlekar. 

Trots den fakta vi har om oändligheten har man svårt att acceptera tanken av att det inte finns ett “största” nummer, eller ett oändligt universum. Varför är det så? Varför känns det obegripligt att något skulle kunna fortsätta i all evighet? 

Den mänskliga hjärnan är begränsad och vi kan endast visualisera saker och ting som liknar det vi har upplevt med våra sinnen tidigare. Oändligheten är ingenting som vi på något sätt kan bevittna på jorden, förutom genom de matematiska och hypotetiska modeller som vi själva framställer. Vi har aldrig upplevt något utan gränser, som fortsätter i all evighet. Uppfattningen av vad oändlighet är kan också skilja sig enormt från person till person. Antikens indiska filosofer hade en fullständigt annorlunda bild av det än vad vi har idag. De såg oändligheten som något från vilket delar kunde tas bort eller läggas till, men mängden var alltid densamma. Antikens greker hade uppfattningen om att det var gränslöst uppbyggt av primtal. 

Vi kan alla begripa vad konceptet oändlighet innebär, men vi kan omöjligt förstå hur obegränsat eller stort det faktiskt är. Människans uppfattning av tid och plats har alltid en början och ett slut. Våra hjärnor utvecklas genom både slumpmässiga och noggranna evolutionära processer, främst genom naturligt urval och genetisk drift. Kanske är vi bara inte avsedda att förstå universums djupa frågor? 

Att begripa och bemöta komplexa frågor som dessa är inget enkelt att göra. Oändligheten är gränslös och går inte på något sätt att mäta. Forskare och filosofer har resonerat kring oändligheten i århundraden och kommer antagligen även fortsätta under en lång tid framöver.Konceptet är skapat av oss människor, men kan vi någonsin få en konkret bild av vad det egentligen är?

Källor som användes i den här artikeln