Pi. Vilket vackert tal. Det är ett tal som i grund och botten är simpelt, men som dyker upp i flera komplicerade formler. Pi förekommer inte bara i matematiken (vare sig det gäller komplexa tal eller statistik), men även i fysiken (i vågrörelseläran, kvantfysiken, och mycket mer), och i viss mån även i populärkulturen.
Vissa hävdar dock att pi:s tid i rampljuset är över, att pi är fel. Efter att ha läst den här artikeln kommer du att förstå varför.
Låt oss börja med definitionen av pi. Pi, som även kallas cirkelkonstanten, definieras som förhållandet mellan omkretsen (\(C\)) och diametern (\(d\)) av en cirkel:
\(\pi = \frac{C}{d} = 3.1415\ldots\)
Det som är konstigt med denna definition är att man delar med diametern av en cirkel. När man definierar cirkeln utgår man ifrån radien: en cirkel är mängden av alla punkter som ligger på avståndet \(r\) (cirkelns radie) från cirkelns mittpunkt. Är det då inte mer logisk om cirkelkonstanten definieras som cirkelns omkrets dividerat med radien? Matematikprofessorn Bob Palais lyfte fram detta problem år 2001 i artikeln “\(\pi\) is wrong!” och några år senare döptes denna nya cirkelkonstant till tau (\(\tau\)), där tau definieras som:
\(\tau = \frac{C}{r}=\frac{C}{d/2}=2 \times \frac{C}{d}=2\times\pi=6.28318\ldots \)
Nu kanske du tänker, “Okej, men vad spelar det för roll?” Tro mig, efter att ha läst denna artikel kommer du att inse att denna lilla justering förändrar ALLT. Låt oss börja med ett viktigt användningsområde för pi: vinklar. I vardagen räknar vi ju med grader, men i matematiken och fysiken används radianer, ett annat “bättre” vinkelmått. En kort förklaring av radianer: om vi skär en pizza så att pizzakanten av den bit vi skär är lika lång som pizzans radie, så är vinkeln mellan pizzans två raka sidor exakt 1 radian, enligt figuren nedan:
Tänk dig nu att vi skär hela pizzan i bitar med vinkeln 1 radian. Hur många bitar får vi? Hela pizzakanten är \(2\pi r\) cm eftersom pizzans radie är \(r\) cm. I varje bit är kanten \(r\) cm lång. Vi får alltså \({\large\frac{2\pi r}{r}}=2\pi\) pizzabitar, där varje bit har vinkeln 1 radian. Slutsatsen vi kan dra från detta är att ett helt varv motsvarar \(2\pi\) pizzabitar med vinkeln 1 radian var, alltså \(2\pi\) radianer. Med hjälp av detta kan vi uttrycka alla vinklar i radianer. Här nedan syns några exempel:
Märker du ett problem? När vi vrider ¼ varv, har vi vridit \(\pi/2\) radianer. När vi vrider ⅛ varv, har vi vridit \(\pi/4\) radianer. Det är som om det alltid är en faktor 2 som är “fel”. “Felet” ligger i att vi räknar med pi och inte med den “rätta” cirkelkonstanten, tau. Om vi använder oss av tau, som är lika med \(2\pi\), blir ett helt varv \(\tau\) radianer och inte \(2\pi\) radianer. Ett halvt varv blir \(\tau/2\) radianer och inte \(\pi\) radianer. Ett tredjedels varv är \(\tau/3\) radianer och inte \(2\pi/3\) radianer. Tänk dig hur mycket lättare det blir att förstå och lära sig radianer om man använder sig av tau! Det gäller bara att veta hur många bråkdelar av en cirkel man har vridit:
\(\tau\) är inte bara bättre när det gäller vinklar. Tänk dig alla formler du har lärt dig i fysiken eller matematiken som innehåller pi. Här är några du kanske har sett förut:
Vinkelhastighet: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; \omega = 2\pi f\)
Trigonometriska ekvationer: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad cos(x)=a \Leftrightarrow x = \pm cos^{-1}(a) + 2\pi k\)
Cylinderns ytarea: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; A=2\pi r(r+h)\)
Funktionen till normalfördelningskurvan: \(\quad\;{\Large\frac{1}{\sigma \surd 2\pi}e}^{\LARGE-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\)
Diracs konstant: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; ħ={\Large\frac{h}{2\pi}}\)
I varje formel där det finns \(\pi\) finns en faktor 2 framför \(\pi\). Om vi ersätter dessa \(2\pi\) med \(\tau\) förenklas alla formler avsevärt:
Vinkelhastighet: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; \omega = \tau f\)
Trigonometriska ekvationer: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad cos(x)=a \Leftrightarrow x = \pm cos^{-1}(a) + \tau k\)
Cylinderns ytarea: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; A=\tau \, r(r+h)\)
Funktionen till normalfördelningskurvan: \(\quad\;{\Large\frac{1}{\sigma \surd \tau}e}^{\LARGE-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\)
Diracs konstant: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; ħ={\Large\frac{h}{\tau}}\)
Du kanske nu tänker på att det finns vissa formler där \(\pi\) förekommer utan en faktor 2:
Cirkelns area: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; A = \pi r^2\)
Eulers identitet: \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad e^{i\pi} = -1\)
Tänk nu att vi skriver om dessa ekvationer med hjälp av tau. Vad får vi då? Cirkelns area blir \(A={\large\frac{\tau\, r^2}{2}}\). Det här kanske ser mer komplicerat ut, men det understryker faktumet att arean är integralen av omkretsen ($latex C$):
\(A={\large\int_0^r C dr = \int_0^r (\tau\, r) dr = \frac{\tau\, r^2}{2}}\)
Detta är till exempel helt analogt med förhållandet mellan en kropps hastighet \(v=at\) och dess lägesändring \(s={\Large\frac{at^2}{2}}\).
Sist men inte minst har vi Eulers identitet – något som många (inklusive alla matematiker) anser som en av matematikens skönheter. När vi använder oss av tau istället för pi, får vi faktiskt något ännu mer spektakulärt:
\({\Large e^{i\tau}=e^{i\times 2\pi}=(e^{i\times\pi})^2}=(-1)^2=1\Leftrightarrow {\Large e^{i\tau}}=1\).
Vi får 1 i höger led. Är inte det vackert?
Trots allt detta kommer vi kanske ändå inte rätta alla matematik- och fysikböcker så att det står \(\tau\) istället för \(2\pi\). Men sanningen är, och kommer alltid att vara, att det tal som matematiker har valt som “det vackra talet” kanske är fel tal.
Källor som användes i den här artikeln
The Tau Manifesto; The Tau Manifesto; Michael Hartl ; 2020; https://tauday.com/tau-manifesto, 2020-01-15.
Hartl, Michael. YouTube – The Tau Manifesto talk (short version). 2015. https://www.youtube.com/watch?v=2hhjsSN-AiU&feature=emb_logo&ab_channel=MichaelHartl.
Vihart. YouTube – Pi Is (still) Wrong. https://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ&feature=emb_logo&ab_channel=Vihart.
Numberphile. YouTube – Tau replaces Pi – Numberphile. 2012. https://www.youtube.com/watch?v=83ofi_L6eAo&feature=emb_logo&ab_channel=Numberphile.